BABIII LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN. 3.1 Pendahuluan Sebelum mambahas limit fungsi di suatu titik, terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi f bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal terdapat suatu fungsi f(x) = x + 4. Slideshow 6470886 by rahim-koch

Masih berkaitan dengan artikel sebelumnya, kali ini pun kita masih membahas tentang asimtot, lebih tepatnya asimtot pada fungsi rasional. Sebelum mempelajari materi ini, saya sarankan anda membaca artikel sebelumnya mengenai asimtot, atau klik pada link ini. Sebelum kita mulai materi bagaimana cara menentukan asimtot, mari kita paahami dulu beberapa istilah yang akan kita gunakan, yaitu asimtot, fungsi rasional, dan hole. Apa Itu Asimtot? Asimtot adalah suatu garis yang terus didekati oleh suatu kurva garis lengkung sampai jauh takhingga. Banyak yang mengartikan, "didekati" artinya sama sekali tidak pernah memotong, namun itu keliru. Kurva bisa juga memotong asimtotnya. Namun meskipun memotong, kurva tetap terus mendekati asimtot ke arah $+\infty$ atau $-\infty$. Biar lebih jelasnya perhatikan gambar berikut Gamabar di atas, kurva mendekati asimtot ke arah $x$ menuju $-\infty$, kurva juga memotong asimtot pada $x$ positif, hal ini mungkin terjadi, karena definisi asimtot sendiri penekanannya adalah pada "kurva mendekati asimtot" bukan masalah memotong atau tidak memotong. Asimtot terbagi menjadi 4 jenis bentuk yaitu 1. Asimtot datar Horizontal Asymtote Asimtot datar adalah asimtot yang sejajar atau berimpit dengan sumbu $x$. 2. Asimtot tegak Vertical Asymtote Asimtot tegak adalah asimtot yang sejajar atau berimpit dengan sumbu $y$. 3. Asimtot miring Slant Asymtote atau Oblique Asymtote Asimtot miring adalah asimtot yang tidak sejajar dengan sumbu $x$ maupun sumbu $y$. 4. Asimtot kurva Curvilinear Asymtote Asimtot kurva adalah asimtot yang tidak berupa garis lurus, melainkan sebuah kurva garis lengkung Apa Itu Fungsi Rasional? $fx$ dikatakan sebagai fungsi rasional jika memenuhi bentuk $fx=\frac{gx}{hx}$ dengan $gx$ dan $hx$ merupakan polinomial. Atau dengan kata lain, fungsi rasional adalah fungsi yang berupa pecahan dengan penyebut dan pembilang berupa polinomial. Apa Itu "Hole"? Secara bahasa "hole" bisa kita terjemahkan sebagai "lubang", maksudnya adalah lubang secara grafis. Perhatikan grafik fungsi $fx=\frac{2x-4}{x^2-4}$ berikut Pada grafik fungsi $fx=\frac{2x-4}{x^2-4}$ di atas, hole lubang terbentuk ketika $x=2$, hal ini terjadi karena jika kita substitusikan $x=2$ ke dalam fungsi $fx=\frac{2x-4}{x^2-4}$, maka kita peroleh $f2=\frac{0}{0}$ seperti yang kita ketahui $\frac{0}{0}$ merupakan bentuk tak tentu. $\begin{align*}f\left x \right &=\frac{2x-4}{x^2-4}\\&=\frac{2x-2}{x+2x-2} \\&=\frac{2}{x+2}\hspace{2cm}\text{dengan }x\ne 2\end{align*}$ sekarang, coba perhatikan grafik $fx=\frac{2x-4}{x^2-4}$ di atas dengan grafik $fx=\frac{2}{x+2}$ berikut Ternyata, grafik $fx=\frac{2x-4}{x^2-4}$ dengan $fx=\frac{2}{x+2}$ identik, kecuali pada hole-nya. Cara Menentukan Asimtot Tegak Vertical Asymptotes Langkah-langakahnya adalah sebagai berikut Faktorkan penyebut dan pembilanganya jika memungkinkan "coret" faktor yang sama pada penyebut dan pembilang. Bagian penyebut yang kita coret penyebab hole, dan yang tidak kita coret dari sanalah kita menemukan asimtot tegaknya. Contoh 1 Tentukan asimtot tegak dan hole pada fungsi $fx=\frac{2x^2-5x-12}{x^2-5x+4}$ Jawab $\begin{align*}fx&=\frac{2x^2-5x-12}{x^2-5x+4}\\&=\frac{x-42x+3}{x-4x-1}\\&=\frac{2x+3}{x-1}, x\ne4\end{align*}$ Faktor yang sama pada pembilang dan penyebut adalah $x-4$, dengan demikian hole terjadi ketika $x=4$ Perhatikan penyebut pada baris terakhir, yaitu $x-1$. Penyebut bernilai nol ketika $x=1$, dengan demikian asimtot tegaknya adalah $x=1$. Contoh 2 tentukan asimtot tegak dan hole pada fungsi $fx=\frac{3x+1x+4}{x-7x+4}$. Jawab Faktor yang sama pada pembilang dan penyebut adalah $x+4$, dengan demikian hole nya adalah $x=-4$ Perhatikan penyebut selain $x+4$, yaitu $x-7$, penyebut sama dengan nol ketika $x=7$ dengan demikian asimtot tegaknya adalah $x=7$. Cara Menentukan Asimtot Datar, Asimtot Miring dan Asimtot Kurva. Misal diketahui fungsi rasional $$fx=\frac{ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\cdots+k}{px^m+qx^{m-1}+rx^{m-2}+\cdots+z}$$ maka Jika $n\lt m$, maka asimtot datarnya adalah $y=0$. Jika $n=m$, maka asimtot datarnya adalah $y=\frac{a}{p}$ Jika $n>m$, maka asimtotnya berupa asimtot miring atau asimtot kurva. Contoh 3 Tentukan asimtot datar atau asimtot miring dari fungsi $fx=\frac{12x^5+4x^2+1}{3x^6+5x^3+12}$ Jawab Karena derajat pangkat tertinggi pembilang derajat pangkat tertinggi penyebut, asimtotnya berupa asimtot miring atau asimtot kurva, cara menentukannya adalah dengan melakukan pembagian polinomial, hasil baginya merupakan persamaan asimtot. $fx=\frac{2x^3-3}{x^2-1}=2x+\frac{2x-3}{x^2-1}$ maka asimtot nya adalah $y=2x$ asimtot miring dengan gradien 2 Contoh 6 Tentukan asimtot datar, asimtot miring atau asimtot kurva dari fungsi $fx=\frac{x^3+4x^2+4x+5}{x}$ Jawab $fx=\frac{x^3+4x^2+4x+5}{x}=x^2+4x+4+\frac{5}{x}$ maka asimtotnya adalah $y=x^2+4x+4$ asimtot kurva Demikianlah cara menentukan asimtot dari fungsi rasional, semoga bermanfaat. $\blacksquare$ Denih Handayani, 1 September 2017

Asimtot secara umum adalah sebuah garis lurus atau lengkung yang mendekati kurva pada ujung-ujung intervalnya. Asimtot tidak diartikan sebagai garis yang tidak pernah dipotong oleh kurva karena ada kasus ketika kurva juga memotong asimtotnya. Asimtot juga tidak selalu berupa garis lurus, melainkan juga bisa berupa garis lengkung. Penekanan definisi asimtot bukanlah pada memotong atau tidak memotong kurva, melainkan pada mendekati kurva. Pada pembahasan mengenai asimtot fungsi aljabar, akan ditemukan 3 jenis asimtot, yaitu asimtot horizontal datar, asimtot vertikal tegak, dan asimtot miring. Beberapa definisi berikut diharapkan dapat memberikan kita satu pemahaman mengenai soal yang nanti akan dibahas. Definisi Fungsi Aljabar Fungsi aljabar adalah fungsi $fx$ yang memenuhi $Px, fx = 0$ dengan $Px, y$ sebagai polinomial bervariabel $x$ dan $y.$ Contohnya $fx = \dfrac{\sqrt{x + 4}}{x^2-2}.$ Fungsi yang tidak termasuk fungsi aljabar disebut fungsi transendental, misalnya $gx = \ln x.$ Definisi Fungsi Rasional Fungsi rasional adalah rasio perbandingan dari dua fungsi polinomial dengan bentuk umum $Rx = \dfrac{px}{qx}$ di mana $qx \neq 0.$ Asimtot Horizontal Untuk setiap konstanta tetapan $k$, garis $y = k$ adalah asimtot horizontal dari fungsi $f$ jika untuk $x$ mengecil/membesar tanpa batas, nilai fungsi semakin mendekati $k.$ Secara matematis, ditulis $x \to -\infty, fx \to k$ atau $x \to \infty, fx \to k.$ Asimtot Vertikal Untuk setiap konstanta tetapan $h$, garis $x = h$ adalah asimtot vertikal dari fungsi $f$ jika untuk $x$ mendekati $h$, nilai fungsi membesar/mengecil tanpa batas. Secara matematis, ditulis $x \to h^+, fx \to \pm \infty$ atau $x \to h^-, fx \to \pm \infty.$ Notasi $h^+$ artinya mendekati $h$ dari arah kanan, sedangkan $h^-$ artinya mendekati $h$ dari arah kiri. Asimtot Miring Asimtot miring adalah garis miring dengan persamaan umum $y = mx + n$ yang tidak pernah dipotong oleh kurva, melainkan hanya didekati pada ujung-ujung interval fungsi. Berikut ini merupakan sejumlah soal dan pembahasan terkait asimtot fungsi aljabar yang dikumpulkan dari berbagai referensi. Semoga dapat bermanfaat untuk menambah pemahaman mengenai materi tersebut. Quote by Richard Branson Do not be embarrassed by your failures. Learn from them and start again. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Kurva $fx = \dfrac{x^2-7x+10}{x^2-4x+3}$ mempunyai $\cdots \cdot$ satu asimtot vertikal dan satu asimtot horizontal satu asimtot vertikal dan dua asimtot horizontal dua asimtot vertikal dan satu asimtot horizontal dua asimtot vertikal dan dua asimtot horizontal tidak mempunyai asimtot vertikal, tetapi mempunyai satu asimtot horizontal Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac{x^2-7x+10}{x^2-4x+3}.$ Akan diperiksa asimtot vertikal dan asimtot horizontal dari fungsi rasional tersebut. Asimtot Vertikal Perhatikan bahwa $$fx = \dfrac{x^2-7x+10}{x^2-4x+3} = \dfrac{x-2x-5}{x-1x-3}.$$Pembilang dan penyebut fungsi rasional tersebut tidak memiliki faktor bersama. Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebutnya tersebut sama dengan nol. $$\begin{aligned} x^2-4x+3 & = 0 \\ x-1x-3 & = 0 \\ x = 1~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Jadi, fungsi $fx$ memiliki dua asimtot vertikal, yakni $x = 1$ dan $x = 3.$ Asimtot Horizontal Diketahui $fx = \dfrac{\color{blue}{1x^2}-7x+10}{\color{red}{1x^2}-4x+3}.$ Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi $f$ sama-sama berderajat dua. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{1}{1} = 1.$ Jadi, fungsi hanya memiliki satu asimtot horizontal, yakni $y = 1.$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 2 Kurva lengkung $y = \dfrac{x^2}{x^2+1}$ mempunyai $\cdots \cdot$ A. satu asimtot B. dua asimtot C. tiga asimtot D. empat asimtot E. lima asimtot Pembahasan Diketahui $y = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}.$ Akan diperiksa asimtot yang dimiliki oleh fungsi rasional tersebut. Asimtot Vertikal Jelas bahwa pembilang dan penyebut fungsi rasional itu tidak memiliki faktor bersama. Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol. Dengan kata lain, kita mencari penyelesaian dari persamaan $x^2 + 1 = 0,$ padahal persamaan ini tidak memiliki penyelesaian real tidak ada nilai $x$ yang memenuhi. Jadi, fungsi rasional tersebut tidak memiliki asimtot vertikal. Asimtot Horizontal Diketahui $y = \dfrac{\color{blue}{1x^2}}{\color{red}{1x^2}+1}.$ Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi $f$ sama-sama berderajat dua. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{1}{1} = 1.$ Jadi, fungsi hanya memiliki satu asimtot horizontal, yakni $y = 1.$ Asimtot Miring Suatu fungsi rasional memiliki asimtot miring jika derajat pembilangnya satu lebih tinggi dari derajat penyebutnya. Karena kondisi ini tidak terpenuhi untuk fungsi rasional $y = \dfrac{x^2}{x^2+1},$ maka disimpulkan bahwa fungsi tersebut tidak memiliki asimtot miring. Jadi, fungsi $y = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}$ hanya memiliki satu asimtot. Jawaban A [collapse] Baca Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Aljabar Soal Nomor 3 Asimtot vertikal dari fungsi $fx = \dfrac{2x-8}{x^2-7x+12}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x=3$ dan $x=4$ B. $x=2$ saja C. $x=3$ saja D. $x=4$ saja E. tidak ada Pembahasan Perhatikan bahwa $$fx = \dfrac{2x-8}{x^2-7x+12} = \dfrac{2x-4}{x-3x-4}.$$ $x-4$ merupakan faktor bersama bagi pembilang dan penyebut fungsi rasional itu. Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol. $$\begin{aligned} x^2-7x+12 & = 0 \\ x-3x-4 & = 0 \\ x = 3~\text{atau}~x & = 4 \end{aligned}$$Namun, karena $x-4$ merupakan faktor bersama, $x = 4$ bukanlah asimtot vertikal. Jadi, fungsi $fx$ hanya memiliki satu asimtot vertikal, yakni $x = 3.$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 4 Asimtot miring fungsi $fx = \dfrac{x^2+3x+3}{x+1}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y = x$ D. $y = x-1$ B. $y = x-2$ E. $y=x+2$ C. $y = x+1$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac{x^2+3x+3}{x+1}.$ Tampak bahwa derajat pembilang satu lebihnya dari derajat penyebut pembilang 2 dan penyebut 1 sehingga fungsi tersebut memiliki asimtot miring. Asimtot miringnya diwakili oleh hasil bagi ketika kita membagi $x^2 + 3x + 3$ dengan $x + 1$ bisa menggunakan skema pembagian bersusun, metode Horner, atau yang lainnya. Berikut ini kita gunakan skema pembagian bersusun. Diperoleh hasil baginya adalah $x + 2.$ Jadi, dapat disimpulkan bahwa asimtot miringnya adalah $\boxed{y = x + 2}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 5 Asimtot miring dari grafik $gx = \dfrac{3x^5+x^4+2x^2+1}{x^4+3}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y = 2x +1$ D. $y = 3x-1$ B. $y = 2x-3$ E. tidak ada C. $y = 3x+1$ Pembahasan Diketahui $gx = \dfrac{3x^5+x^4+2x^2+1}{x^4+3}.$ Tampak bahwa derajat pembilang satu lebihnya dari derajat penyebut pembilang 5 dan penyebut 4 sehingga fungsi tersebut memiliki asimtot miring. Asimtot miringnya diwakili oleh hasil bagi ketika kita membagi $3x^5+x^4+2x^2+1$ dengan $x^4 + 3$ bisa menggunakan skema pembagian bersusun atau yang lainnya. Berikut ini kita gunakan skema pembagian bersusun. Diperoleh hasil baginya adalah $3x + 1.$ Jadi, dapat disimpulkan bahwa asimtot miringnya adalah $\boxed{y = 3x + 1}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 6 Asimtot vertikal dan horizontal fungsi $fx = \dfrac{x^3+2x+1}{x^3-x}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x = 0$ dan $x = 1$ B. $x = 0$, $x = 1$, dan $y = 1$ C. $x = 1$ dan $y = 1$ D. $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$, dan $y = 1$ E. $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$, dan $y = 0$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac{x^3+2x+1}{x^3-x}.$ Akan diperiksa asimtot vertikal dan horizontal yang dimiliki oleh fungsi rasional tersebut. Asimtot Vertikal Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol. $$\begin{aligned} x^3-x & = 0 \\ xx^2-1 & = 0 \\ xx+1x-1 & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh penyelesaiannya adalah $x = -1, 0, 1.$ Jadi, fungsi tersebut memiliki tiga asimtot vertikal, yakni $x = -1$, $x = 0$, dan $x = 1.$ Asimtot Horizontal Diketahui $fx = \dfrac{\color{blue}{x^3}+2x+1}{\color{blue}{x^3}-x}.$ Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi itu sama-sama berderajat tiga. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{1}{1} = 1.$ Jadi, fungsi hanya memiliki satu asimtot horizontal, yakni $y = 1.$ Jadi, fungsi tersebut memiliki asimtot vertikal $x = -1$, $x = 0$, dan $x = 1$, sedangkan asimtot horizontalnya adalah $y = 1.$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 7 Grafik $fx = \dfrac{6}{x^2-4}$ memiliki $\cdots \cdot$ satu asimtot vertikal, yaitu $x = 2$ sumbu $Y$ sebagai asimtot vertikal sumbu $X$ sebagai asimtot horizontal dan $x = \pm 2$ sebagai asimtot vertikal dua asimtot vertikal, yaitu $x = \pm 2$, tetapi tidak memiliki asimtot horizontal dua asimtot horizontal, yaitu $y = \pm 2$, tetapi tidak memiliki asimtot vertikal Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac{6}{x^2-4}.$ Akan diperiksa asimtot yang dimiliki oleh fungsi rasional tersebut. Asimtot Vertikal Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol. $$\begin{aligned} x^2-4 & = 0 \\ x-2x+2 & = 0 \\ x = 2~\text{dan}~x & = -2 \end{aligned}$$Jadi, fungsi $fx$ memiliki dua asimtot vertikal, yakni $x = \pm 2.$ Asimtot Horizontal Tampak bahwa derajat pembilang lebih rendah dibandingkan derajat penyebut pembilang 0 dan penyebut 2 sehingga dapat langsung disimpulkan bahwa asimtot horizontal fungsi rasional tersebut adalah sumbu $X$ atau persamaan $y = 0.$ Asimtot Miring Suatu fungsi rasional memiliki asimtot miring jika derajat pembilangnya satu lebih tinggi dari derajat penyebutnya. Karena kondisi ini tidak terpenuhi untuk fungsi rasional $fx = \dfrac{6}{x^2-4},$ maka disimpulkan bahwa fungsi tersebut tidak memiliki asimtot miring. Jadi, grafik $fx = \dfrac{6}{x^2-4}$ memiliki sumbu $X$ sebagai asimtot horizontal dan $x = \pm 2$ sebagai asimtot vertikal. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 8 Garis $y = 5$ adalah asimtot horizontal dari fungsi $\cdots \cdot$ A. $y = \dfrac{x-5}{x+5}$ B. $y = 5x$ C. $y = \dfrac{1}{x-5}$ D. $y = \dfrac{5x}{1-x}$ E. $y = \dfrac{20x^2-x}{1+4x^2}$ Pembahasan Hanya fungsi rasional fungsi pecahan yang memiliki asimtot horizontal. Syaratnya adalah derajat pembilang lebih rendah atau sama dengan derajat penyebutnya. Cek Opsi A Diketahui $y = \dfrac{\color{blue}{x}-5}{\color{blue}{x}+5}.$ Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi $f$ sama-sama berderajat satu. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{1}{1} = 1.$ Jadi, fungsi itu memiliki asimtot horizontal $y = 1.$ Cek Opsi B Diketahui $y = 5x.$ Fungsi ini bukan fungsi rasional melainkan fungsi linear sehingga tidak memiliki asimtot. Cek Opsi C Diketahui $y = \dfrac{1}{x-5}.$ Tampak bahwa derajat pembilang lebih rendah dibandingkan derajat penyebut pembilang 0 dan penyebut 1 sehingga dapat langsung disimpulkan bahwa asimtot horizontal fungsi rasional tersebut adalah sumbu $X$ atau persamaan $y = 0.$ Cek Opsi D Diketahui $y = \dfrac{\color{blue}{5x}}{1\color{blue}{-x}}.$ Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi $f$ sama-sama berderajat satu. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{5}{-1} = -5.$ Jadi, fungsi itu memiliki asimtot horizontal $y = -5.$ Cek Opsi E Diketahui $y = \dfrac{\color{blue}{20x^2}-x}{1+\color{blue}{4x^2}}.$ Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi $f$ sama-sama berderajat dua. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{20}{4} = 5.$ Jadi, fungsi itu memiliki asimtot horizontal $y = 5.$ Jadi, $y = 5$ adalah asimtot horizontal dari fungsi $\boxed{y = \dfrac{20x^2-x}{1+4x^2}}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 9 Fungsi berikut yang tidak memiliki asimtot vertikal adalah $\cdots \cdot$ A. $y = \dfrac{x+2}{x^2-3}$ B. $y = \dfrac{x}{x-2^2}$ C. $y = \dfrac{x^2-9}{x+3}$ D. $y = -\dfrac{3}{x}$ E. $y = \dfrac{x-3}{x^2-4}$ Pembahasan Hanya fungsi rasional yang memiliki asimtot vertikal. Asimtot vertikal ditemukan ketika kita membuat penyebut sama dengan nol. Cek Opsi A Diketahui $y = \dfrac{x+2}{x^2-3} = \dfrac{x+2}{x+\sqrt3x-\sqrt3}.$ Bentuk terakhir sudah paling sederhana karena tidak memiliki faktor bersama pada pembilang dan penyebutnya. Diperoleh asimtot vertikalnya adalah $x = -\sqrt3$ dan $x = \sqrt3.$ Cek Opsi B Diketahui $y = \dfrac{x}{x-2^2}.$ Bentuk ini sudah paling sederhana karena tidak memiliki faktor bersama pada pembilang dan penyebutnya. Diperoleh asimtot vertikalnya adalah $x = 2.$ Cek Opsi C Diketahui $$\begin{aligned} y & = \dfrac{x^2-9}{x+3} \\ y & = \dfrac{\cancel{x + 3}x-3}{\cancel{x+3}} \\ y & = x-3 && x \neq -3 \end{aligned}$$Jadi, fungsi ini bukanlah fungsi rasional, melainkan fungsi linear yang tidak terdefinisi di $x = -3.$ Ini artinya, fungsi ini tidak memiliki asimtot vertikal. Cek Opsi D Diketahui $y = -\dfrac{3}{x}.$ Bentuk ini sudah paling sederhana karena tidak memiliki faktor bersama pada pembilang dan penyebutnya. Diperoleh asimtot vertikalnya adalah $x = 0.$ Cek Opsi E Diketahui $y = \dfrac{x-3}{x^2-4} = \dfrac{x-3}{x+2x-2}.$ Bentuk terakhir sudah paling sederhana karena tidak memiliki faktor bersama pada pembilang dan penyebutnya. Diperoleh asimtot vertikalnya adalah $x = -2$ dan $x = 2.$ Jadi, fungsi yang tidak memiliki asimtot vertikal adalah $\boxed{y = \dfrac{x^2-9}{x+3}}$ Jawaban C [collapse] Baca Soal dan Pembahasan – Limit Tak Hingga Soal Nomor 10 Pernyataan yang benar tentang kurva $y = \dfrac{2x^2+4}{2+7x-4x^2}$ adalah $\cdots \cdot$ garis $x = -\dfrac14$ sebagai asimtot vertikal garis $x = 1$ sebagai asimtot vertikal garis $y = -\dfrac14$ sebagai asimtot horizontal grafik tidak memiliki asimtot horizontal dan vertikal garis $y = 2$ sebagai asimtot horizontal Pembahasan Diketahui $y = \dfrac{2x^2+4}{2+7x-4x^2}.$ Akan diperiksa asimtot yang dimiliki oleh fungsi rasional tersebut. Asimtot Vertikal Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol. $$\begin{aligned} 2 + 7x-4x^2 & = 0 \\ 4x^2-7x-2 & = 0 \\ 4x+1x-2 & = 0 \\ x = -\dfrac14~\text{atau}~x & = 2 \end{aligned}$$Jadi, fungsi tersebut memiliki dua asimtot vertikal, yakni $x = -\dfrac14$ dan $x = 2.$ Asimtot Horizontal Diketahui $y = \dfrac{\color{blue}{2x^2}+4}{2+7x\color{blue}{-4x^2}}.$ Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi itu sama-sama berderajat dua. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{2}{-4} = -\dfrac12.$ Jadi, fungsi hanya memiliki satu asimtot horizontal, yakni $y = -\dfrac12.$ Asimtot Miring Suatu fungsi rasional memiliki asimtot miring jika derajat pembilangnya satu lebih tinggi dari derajat penyebutnya. Karena kondisi ini tidak terpenuhi untuk fungsi rasional itu, maka disimpulkan bahwa fungsi tersebut tidak memiliki asimtot miring. Berdasarkan opsi yang ada, pernyataan yang benar adalah garis $x = -\dfrac14$ sebagai asimtot vertikal. Jawaban A [collapse] Soal Nomor 11 Berikut ini adalah ciri dari suatu fungsi rasional. Asimtot vertikalnya adalah $x=2.$ Asimtot horizontalnya adalah $y=8.$ Kurva tidak kontinu pada titik $3, 9.$ Fungsi rasional berikut yang memenuhi ciri di atas adalah $\cdots \cdot$ A. $fx = \dfrac{x-3}{x+3x-2}-8$ B. $fx = \dfrac{x-3}{x-3x+2}-8$ C. $fx = \dfrac{x-3}{x-3x-2}+8$ D. $fx = \dfrac{x+3}{x+2x+3}+8$ E. $fx = \dfrac{x-2}{x-3x+2}+8$ Pembahasan Diketahui bahwa fungsi $fx$ yang akan dibuat adalah fungsi rasional. Persamaan asimtot vertikal adalah $x = 2$, artinya ada faktor $x-2$ pada penyebut. Untuk sementara, kita tuliskan $$fx = \dfrac{1}{x-2}$$Persamaan asimtot horizontal adalah $y = 8.$ Dengan menyamakan derajat pembilang dan penyebut, kita dapat tuliskan $$fx = \dfrac{8x}{x-2}$$atau bisa juga berbentuk $$fx = \dfrac{x}{x-2} + 8$$Kurva tidak kontinu pada titik $3, 9$, artinya pembilang dan penyebut sama-sama memiliki faktor $x-3.$ Dengan menyesuaikan opsi pilihan ganda yang diberikan, kita peroleh bahwa fungsi $$fx = \dfrac{x-3}{x-3x-2} + 8$$memenuhi ketiga kriteria tersebut. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 12 Fungsi berikut yang memiliki asimtot vertikal pada $x=2$ dan asimtot horizontal pada $y=1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y = \dfrac{3x^2-6x+9}{x^2+3x+2}$ B. $y = \dfrac{3}{x-2}$ C. $y = \dfrac{x+3}{x^2-4}$ D. $y = \dfrac{x^2-9}{x^2-4x+4}$ E. $y = \dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}$ Pembahasan Cek Opsi A Diberikan $y = \dfrac{3x^2-6x+9}{x^2+3x+2}.$ Dapat kita faktorkan menjadi $$ y = \dfrac{3x^2-2x+3}{x+2x+1}$$Dari penyebut, kita ketahui bahwa asimtot vertikalnya ada dua, yaitu $x = -2$ dan $x = -1.$ Karena pembilang dan penyebut berderajat sama, maka asimtot horizontalnya merupakan hasil bagi koefisien derajat tertinggi pembilang dan penyebut, yaitu $y = \dfrac31 = 3.$ Jadi, kriteria tidak terpenuhi. Cek Opsi B Diberikan $y = \dfrac{3}{x-2}.$ Jelas dari penyebut, asimtot vertikalnya adalah $x = 2.$ Karena derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut, maka asimtot horizontalnya adalah $y = 0.$ Jadi, kriteria tidak terpenuhi. Cek Opsi C Diberikan $y = \dfrac{x+3}{x^2-4}.$ Dapat kita faktorkan menjadi $$y = \dfrac{x+3}{x+2x-2}$$Dari penyebut, kita ketahui bahwa asimtot vertikalnya ada dua, yaitu $x = -2$ dan $x = 2.$ Karena derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut, maka asimtot horizontalnya adalah $y = 0.$ Jadi, kriteria tidak terpenuhi. Cek Opsi D Diberikan $y = \dfrac{x^2-9}{x^2-4x+4}.$ Dapat kita faktorkan menjadi $$y = \dfrac{x+3x-3}{x-2x-2}$$Dari penyebut, kita ketahui bahwa asimtot vertikalnya hanya ada satu, yaitu $x = 2.$ Karena pembilang dan penyebut berderajat sama, maka asimtot horizontalnya merupakan hasil bagi koefisien derajat tertinggi pembilang dan penyebut, yaitu $y = \dfrac11 = 1.$ Jadi, kriteria tidak terpenuhi. Cek Opsi E Diberikan $y = \dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}.$ Dapat kita faktorkan menjadi $$\begin{aligned} y &= \dfrac{x+2x-2}{x-2x-1} \\ & = \dfrac{x+2}{x-1} \end{aligned}$$Dari penyebut, kita ketahui bahwa asimtot vertikalnya hanya ada satu, yaitu $x = 1.$ Karena pembilang dan penyebut berderajat sama, maka asimtot horizontalnya merupakan hasil bagi koefisien derajat tertinggi pembilang dan penyebut, yaitu $y = \dfrac11 = 1.$ Jadi, kriteria tidak terpenuhi. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 13 Kurva $y = \dfrac{x^3+x^2+1}{x^3+10}$ memotong asimtot datarnya di koordinat $\cdots \cdot$ A. $1, -3$ dan $1, 3$ B. $-3, 1$ dan $3, 1$ C. $-1, 3$ dan $-1, -3$ D. $-1, -3$ dan $1, 3$ E. $3, -1$ dan $3, -1$ Pembahasan Diketahui $y = \dfrac{x^3+x^2+1}{x^3+10}.$ Tampak bahwa $y$ adalah fungsi rasional dengan pembilang dan penyebut merupakan polinomial berderajat tiga. Karena derajatnya sama, maka asimtot datarnya merupakan hasil bagi koefisien pangkat tertinggi pembilang dan penyebut, yaitu $$y = \dfrac11 = 1$$Sekarang, substitusikan $y = 1.$ $$\begin{aligned} y & = \dfrac{x^3+x^2+1}{x^3+10} \\ \Rightarrow 1 & = \dfrac{x^3+x^2+1}{x^3+10} \\ x^3+10 & = x^3+x^2+1 \\ x^2-9 & = 0 \\ x+3x-3 & = 0 \\ x = -3~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Jadi, asimtot datar dipotong oleh kurva pada dua titik, yaitu di koordinat $-3, 1$ dan $3, 1.$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 14 Fungsi $f$ yang grafiknya diberikan pada gambar di bawah ini adalah $\cdots \cdot$ A. $fx=\dfrac{x-1x-3}{x-2}$ B. $fx=\dfrac{x-1x-3}{x-2^2}$ C. $fx=\dfrac{2x-1x-3}{x-2}$ D. $fx=\dfrac{2x-1x-3}{x-2^2}$ E. $fx=\dfrac{2x-1x-3}{x-2^3}$ Pembahasan Dari grafik tersebut, tampak bahwa kurva memiliki satu asimtot vertikal dengan persamaan $x = 2$ sehingga penyebut fungsi memiliki faktor $x-2.$ Kurva juga terlihat memiliki satu asimtot horizontal dengan persamaan $y = 2$. Ini menunjukkan bahwa derajat pembilang dan penyebut fungsi sama dengan perbandingan koefisien $2 1.$ Kurva memotong sumbu $X$ di $1, 0$ dan $3, 0.$ Artinya ada bentuk $x-1$ dan $x-3$ pada pembilang fungsi. Agar memiliki derajat yang sama dengan pembilang, maka $x-2$ pada penyebut harus dipangkatkan dua. Fungsi yang sesuai dengan kriteria tersebut adalah $fx=\dfrac{2x-1x-3}{x-2^2}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 15 Fungsi berikut ini yang memiliki asimtot miring adalah $\cdots \cdot$ A. $fx=\dfrac{x^5+2}{x^4-4x^2+4}$ B. $fx=\dfrac{x^2-1}{x^3+x^2+1}$ C. $fx=\dfrac{4x^2+x+2}{x^2}$ D. $fx=\dfrac{x^5}{x^2-1}$ E. $fx=\dfrac{4x^2-1}{x^4-1}$ Pembahasan Suatu fungsi rasional memiliki asimtot miring jika derajat pembilangnya satu lebih tinggi dari derajat penyebutnya. Cek Opsi A Diketahui $fx=\dfrac{x^5+2}{x^4-4x^2+4}.$ Derajat pembilang = 5 dan derajat penyebut = 4. Kondisi terpenuhi sehingga fungsi ini memiliki asimtot miring. Cek Opsi B Diketahui $fx=\dfrac{x^2-1}{x^3+x^2+1}.$ Derajat pembilang = 2 dan derajat penyebut = 3. Kondisi tidak terpenuhi sehingga fungsi ini tidak memiliki asimtot miring. Cek Opsi C Diketahui $fx=\dfrac{4x^2+x+2}{x^2}.$ Derajat pembilang = 2 dan derajat penyebut = 2. Kondisi tidak terpenuhi sehingga fungsi ini tidak memiliki asimtot miring. Cek Opsi D Diketahui $fx=\dfrac{x^5}{x^2-1}.$ Derajat pembilang = 5 dan derajat penyebut = 2. Kondisi tidak terpenuhi sehingga fungsi ini tidak memiliki asimtot miring. Cek Opsi E Diketahui $fx=\dfrac{4x^2-1}{x^4-1}.$ Derajat pembilang = 2 dan derajat penyebut = 4. Kondisi tidak terpenuhi sehingga fungsi ini tidak memiliki asimtot miring. Jadi, fungsi berikut ini yang memiliki asimtot miring adalah $\boxed{fx=\dfrac{x^5+2}{x^4-4x^2+4}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 16 Fungsi-fungsi berikut ini yang memiliki sebuah lubang, memiliki sebuah titik potong dengan sumbu $X$, tetapi tidak memiliki asimtot miring adalah $\cdots \cdot$ A. $fx=\dfrac{x^2-1}{x^3+x^2+1}$ B. $fx=\dfrac{x-7x^2-1}{x-7x-2}$ C. $fx=\dfrac{x-7x^3-4}{x-7x+5}$ D. $fx=\dfrac{x-7x^2-2}{x-7x-2}$ E. $fx=\dfrac{x-7}{x-7x-2}$ Pembahasan Kriteria 1 Memiliki sebuah lubang memiliki arti bahwa ada satu faktor yang sama pada pembilang dan penyebut fungsi. Opsi A tidak memenuhi karena $x^2-1 = x+1x-1,$ sedangkan $x+1$ maupun $x-1$ bukanlah faktor dari $x^3+x^2+1.$ Kriteria 2 Memiliki titik potong terhadap sumbu $X$, artinya pembilang memiliki satu faktor lain yang tidak dimiliki oleh penyebut. Opsi B tidak memenuhi karena pembilangnya memiliki dua faktor lain, yaitu $x^2-1 = x+1x-1.$ Opsi C masih memenuhi karena $x^3-4 = 0$ jelas memiliki satu penyelesaian real, yakni $x = \sqrt[4]{3}.$ Opsi D tidak memenuhi karena pembilangnya memiliki dua faktor lain, yaitu $x^2-2 = x+\sqrt2x-\sqrt2.$ Opsi E tidak memenuhi karena tidak memiliki faktor lain selain faktor bersama. Kriteria 3 Grafik fungsi memiliki asimtot miring jika bentuknya pecahan dengan derajat pembilang satu lebihnya dari derajat penyebut. Opsi C memenuhi kondisi bahwa fungsi tidak memiliki asimtot miring karena derajat pembilangnya $4,$ sedangkan derajat penyebutnya $2.$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 17 Supaya grafik $y = \dfrac{2x+a}{3x+b}$ tidak memiliki asimtot vertikal, nilai $b$ seharusnya sama dengan $\cdots \cdot$ A. $\dfrac13a$ D. $a$ B. $\dfrac12a$ E. $\dfrac32a$ C. $\dfrac34a$ Pembahasan Agar tidak memiliki asimtot vertikal, pembilang dan penyebut fungsi tersebut harus saling berkelipatan memiliki faktor persekutuan. Karena berderajat sama, maka akan ada $k \neq 0$ sehingga berlaku $k2x + a = 3x + b.$ Perhatikan bahwa persamaan tersebut dapat ditulis menjadi $$\dfrac23k\left3x + \dfrac32a\right = 3x + b$$Dengan mengabaikan konstanta pembanding $\dfrac23k$, kita peroleh bahwa $\boxed{b = \dfrac32a}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 18 Asimtot horizontal dari grafik $y = \dfrac{5+2^x}{1-2^x}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y = -1$ saja B. $y = 0$ saja C. $y = 5$ saja D. $y = -1$ dan $y = 0$ E. $y = -1$ dan $y = 5$ Pembahasan Perhatikan bahwa $y = \dfrac{5+2^x}{1-2^x}$ bukan merupakan fungsi rasional karena pembilang/penyebut bukan polinomial. Untuk menentukan asimtot horizontalnya, kita dapat mencari nilai limit fungsi ketika $x$ mendekati tak hingga dan $x$ mendekati negatif tak hingga. Kita tuliskan $$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{5+2^x}{1-2^x} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{5}{2^x}+1}{\dfrac{1}{2^x}-1} \\ & = \dfrac{0 + 1}{0-1} \\ & = \dfrac{1}{-1} = -1 \end{aligned}$$dan $$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{5+2^x}{1-2^x} & = \dfrac{5 + 0}{1-0} \\ & = 5 \end{aligned}$$Jadi, asimtot horizontal fungsi aljabar tersebut adalah $y = -1$ dan $y = 5.$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 19 Grafik fungsi $fx = \dfrac{x+2^kx^2-1}{x^2+x-2x^2+3x+2}$ untuk bilangan asli $k$ akan mempunyai satu asimtot tegak jika $k = \cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ E. $4$ B. $1$ D. $3$ Pembahasan Pertama, faktorkan pembilang dan penyebut fungsi rasional tersebut terlebih dahulu. $$\begin{aligned} fx & = \dfrac{x+2^kx^2-1}{x^2+x-2x^2+3x+2} \\ & = \dfrac{x+2^k\cancel{x+1}\bcancel{x-1}}{x+2\bcancel{x-1}x+2\cancel{x+1}} \\ & = \dfrac{x+2^k}{x+2x+2} \end{aligned}$$Perhatikan bahwa pembilang dan penyebut akan memiliki faktor yang sama untuk $k \geq 1.$ Agar memiliki satu asimtot tegak, maka penyebut harus memiliki satu faktor setelah disederhanakan. Ini menunjukkan bahwa $k = 1$ akan membuat $fx = \dfrac{x+2^1}{x+2x+2} = \dfrac{1}{x+2}.$ Nilai $k$ yang lain akan membuat fungsi tidak memiliki asimtot tegak. Catatan Perhatikan bahwa $k$ adalah bilangan asli sehingga $k = 0$ tidak memenuhi meskipun membuat fungsi juga memiliki satu asimtot tegak. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 20 Diketahui fungsi $fx = \dfrac{ax + 5}{\sqrt{x^2+bx+1}}$ dengan $a>0$ dan $b 0,$ maka nilai $a$ yang dipilih adalah $a = 3.$ Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai dari $\boxed{a+2b=3+2-2=-1}$ Jawaban B [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot datar dari fungsi $fx = \dfrac{x-5}{\sqrt{x^2-3x+2}}.$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac{x-5}{\sqrt{x^2-3x+2}}.$ Asimtot Tegak Vertikal Asimtot tegak ditemukan ketika penyebut fungsi sama dengan nol. $$\begin{aligned} \sqrt{x^2-3x+2} & = 0 \\ x^2-3x+2 & = 0 \\ x-1x-2 & = 0 \\ x = 1~\text{atau}~x & = 2 \end{aligned}$$Jadi, asimtot tegak fungsi tersebut adalah $x = 1$ dan $x = 2.$ Asimtot Datar Horizontal Kita gunakan konsep limit tak hingga sesuai dengan definisi asimtot horizontal. $$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x-5}{\sqrt{x^2-3x+2}} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x}{x}-\dfrac{5}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{3x}{x^2}+\dfrac{2}{x^2}}} \\ & = \dfrac{1-0}{\sqrt{1-0+0}} \\ & = \dfrac{1}{1} = 1 \end{aligned}$$dan $$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x-5}{\sqrt{x^2-3x+2}} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x}{x}-\dfrac{5}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{3x}{x^2}+\dfrac{2}{x^2}}} \\ & = \dfrac{-1-0}{\sqrt{1-0+0}} \\ & = \dfrac{-1}{1} = -1 \end{aligned}$$Jadi, asimtot datar fungsi tersebut adalah $y = 1$ dan $y = -1.$ [collapse] Soal Nomor 2 Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot datar dari fungsi $$fx = \sqrt{4x^2-2x+1}-\sqrt{4x^2+2x-5}.$$ Pembahasan Asimtot Tegak Vertikal Fungsi tersebut tidak memiliki asimtot tegak karena berdasarkan definisinya, tidak ada bilangan $a$ yang memenuhi $$\displaystyle \lim_{x \to a} \sqrt{4x^2-2x+1}-\sqrt{4x^2+2x-5} = \infty$$Asimtot Datar Horizontal Fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan dengan cara merasionalkan seperti berikut. $$\begin{aligned} fx & = \sqrt{4x^2-2x+1}-\sqrt{4x^2+2x-5} \times \dfrac{\sqrt{4x^2-2x+1}+\sqrt{4x^2+2x-5}}{\sqrt{4x^2-2x+1}+\sqrt{4x^2+2x-5}} \\ & = \dfrac{4x^2-2x+1-4x^2+2x-5}{\sqrt{4x^2-2x+1}+\sqrt{4x^2+2x-5}} \\ & = \dfrac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2-2x+1}+\sqrt{4x^2+2x-5}} \end{aligned}$$Kita gunakan konsep limit tak hingga sesuai dengan definisi asimtot horizontal. $$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2-2x+1}+\sqrt{4x^2+2x-5}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{-4x}{x}+\dfrac{6}{x}}{\sqrt{\dfrac{4x^2}{x^2}-\dfrac{2x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}} + \sqrt{\dfrac{4x^2}{x^2}+\dfrac{2x}{x^2}-\dfrac{5}{x^2}}} \\ & = \dfrac{-4 + 0}{\sqrt{4-0+0} + \sqrt{4+0-0}} \\ & = \dfrac{-4}{4} = -1 \end{aligned}$$dan $$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2-2x+1}+\sqrt{4x^2+2x-5}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{-4x}{x}+\dfrac{6}{x}}{\sqrt{\dfrac{4x^2}{x^2}-\dfrac{2x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}} + \sqrt{\dfrac{4x^2}{x^2}+\dfrac{2x}{x^2}-\dfrac{5}{x^2}}} \\ & = \dfrac{4 + 0}{\sqrt{4-0+0} + \sqrt{4+0-0}} \\ & = \dfrac{4}{4} = 1 \end{aligned}$$Jadi, asimtot datar fungsi tersebut adalah $y = -1$ dan $y = 1.$ [collapse] Soal Nomor 3 Jika kurva $y = \dfrac{x^3-3x+2}{\frac{1}{a}xx^2-ax-6}$ mempunyai dua asimtot tegak, analisislah semua kemungkinan nilai $a$ yang memenuhi beserta asimtot datar kurva tersebut. Pembahasan Perhatikan bahwa persamaan kurva $y$ dapat kita tuliskan sebagai berikut. $$\begin{aligned} y & = \dfrac{x^3-3x+2}{\frac{1}{a}xx^2-ax-6} \\ & = \dfrac{x^3-3x+2}{\frac{1}{a}x^3-x^2-\frac{6x}{a}} \end{aligned}$$Karena pembilang dan penyebut merupakan polinomial berderajat tiga, maka asimtot datarnya merupakan hasil bagi koefisien pangkat tertinggi, yaitu $y = \dfrac{1}{\frac{1}{a}} = a.$ Kita harus mencari nilai $a$ untuk menentukan asimtot datar kurva tersebut. Dikatakan bahwa kurva memiliki dua asimtot tegak padahal penyebutnya berderajat tiga sehingga ada satu faktor yang sama antara pembilang dan penyebut. Perhatikan bentuk pembilang. $$\begin{aligned} x^3-3x+2 & = x^3-x^2+x^2-3x+2 \\ & = x^2x-1+x-1x-2 \\ & = x-1x^2+x-2 \\ & = x-1x-1x+2 \end{aligned}$$Kita tuliskan $$y = \dfrac{x-1x-1x+2}{\frac{1}{a}xx^2-ax-6}$$Kemungkinan Pertama Misalkan faktor yang sama adalah $x-1.$ Artinya $x = 1$ merupakan penyelesaian dari penyebutnya. $$\begin{aligned} \dfrac{1}{a}xx^2-ax-6 & = 0 \\ \Rightarrow \dfrac{1}{a}11^2-a1-6 & = 0 \\ -a-5 & = 0 \\ a & = -5 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a = -5$ dan asimtot datarnya adalah $y = -5$ seperti yang tampak pada sketsa grafik berikut untuk kurva $y = \dfrac{x^3-3x+2}{-\frac15xx^2+5x-6}.$ Kemungkinan Kedua Misalkan faktor yang sama adalah $x+2.$ Artinya $x = -2$ merupakan penyelesaian dari penyebutnya. $$\begin{aligned} \dfrac{1}{a}xx^2-ax-6 & = 0 \\ \Rightarrow \dfrac{1}{a}-2-2^2-a-2-6 & = 0 \\ -2+2a & = 0 \\ a & = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a = 1$ dan asimtot datarnya adalah $y = 1$ seperti yang tampak pada sketsa grafik berikut untuk kurva $y = \dfrac{x^3-3x+2}{xx^2-x-6}.$ [collapse]

Menentukanasimtot, ada 2 yaitu asimtot datar dan tegak - Asimtot datar diperoleh apabila x → ~, maka y = a/c - Asimtot tegak diperoleh apabila y → ~, maka x = -d/c 4. Menentukan daerah grafik fungsi adalah dengan mancari nilai positif dan negative dari fungsi dengan batas-batas harga nol pembilang atau penyebut 5.

^{Prakalkulus Contoh Mencari Asimtot fx=tanx Langkah 1Untuk sebarang , asimtot tegaknya terjadi pada , di mana adalah sebuah bilangan bulat. Gunakan periode dasar untuk , , untuk menentukan asimtot tegak . Atur di dalam fungsi tangen, , untuk agar sama dengan untuk menentukan di mana asimtot tegaknya terjadi untuk .Langkah 2Atur bilangan di dalam fungsi tangen agar sama dengan .Langkah 3Periode dasar untuk akan terjadi pada , di mana dan adalah asimtot 4Tentukan periode untuk menemukan di mana asimtot tegaknya untuk lebih banyak langkah...Langkah mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara dan adalah .Langkah 5Asimtot tegak untuk terjadi pada , , dan setiap , di mana adalah bilangan 6Hanya terdapat asimtot tegak untuk fungsi tangen dan Tegak untuk sebarang bilangan bulat Tidak Ada Asimtot DatarTidak Ada Asimtot Miring} . 210 435 430 408 304 189 246 98

menentukan asimtot datar dan tegak